京东 · 动态规划 · 算法编程题
京东 动态规划 n ≤ 200000 时限 1 秒 / 256 MB

题目描述

小红有一个数组，她需要对数组操作 n - 1 次，每次操作有两种选择：
1. 选择数组的最后两个数，记 x 和 y ，将它们从数组中删除，然后将 x + y 的个位数放回数组的最后。
2. 选择数组的最后两个数，记 x 和 y ，将它们从数组中删除，然后将 x × y 的个位数放回数组的最后。
例如，对于数组 [1, 2, 3, 4] ，选择第一种操作后，数组变为 [1, 2, 7] ，选择第二种操作后，数组变为 [1, 4] 。
小红一共操作了 n - 1 次，显然操作后数组只剩下了一个数。小红想知道，这个数等于 0, 1, ..., 9 的方案数分别为多少，答案可能很大，你只需要输出答案对 10^9 + 7 取模的结果。
小红想知道，经过 n - 1 次操作后，结果为 0, 1, ..., 9 的方案数分别为多少，答案可能很大，你只需要输出答案对 10^9 + 7 取模的结果。

输入输出

输入描述
一个正整数 n 。代表数组的长度。
一行 n 个正整数 a_1, a_2, ..., a_n ，代表初始数组。
1≤ n ≤ 200000
1≤ a_i ≤ 10^9
输出描述
一行 10 个整数，第 i 个数代表结果为 i 的方案数。

样例共 1 组

样例 1
输入
4
1 2 3 4
输出
1 0 0 0 3 3 0 0 0 1

算法解析依据充分

考点：动态规划 · 基础数学

数据规模 n ≤ 200000 ｜ 限制 1 秒 / 256MB ｜ 标准输入输出

题目画像

  • 数据规模：n ≤ 200000
  • 元素值域：a_i ≤ 1e9（注意整数类型选择，避免溢出）
  • 复杂度门槛：只允许 O(n) 或 O(n log n)，且常数要小（注意读入效率）。
  • 源站时限：1 秒（牛客口径，非本题专属门槛）

解题思路

推荐方向：动态规划

把问题拆成子问题，用状态表示「已处理到哪儿」，靠转移方程递推。

思路框架（动态规划 通法 · 非本题专属）

  1. 定义状态：dp[i] / dp[i][j] 表示什么（这是最关键的一步，状态定义错就全错）。
  2. 写转移方程：当前状态由哪些更小的状态推来。
  3. 确定初始条件与遍历顺序（保证用到的状态已算好）。
  4. 确定答案取哪个状态；数值大时全程取模。

实现要点：一般是「先枚举阶段，再枚举状态，最后枚举决策」三层循环；空间大时可滚动数组优化。

复杂度：时间 O(状态数 × 转移代价) ｜ 空间 O(状态数)

该范式的通法易错点

  • 状态定义不完整（漏了必要维度），导致子问题之间有后效性。
  • 初始化写错（尤其「恰好」与「至多」的初值差别）。
  • 遍历顺序与依赖方向不一致。

对照本题

  • 数据规模 n ≤ 200000，只允许 O(n) 或 O(n log n)，且常数要小（注意读入效率）。
  • 元素值域最大到 1e9 —— 求和 / 相乘时记得开 64 位整数。

样例

样例 1

  • 输入：4 / 1 2 3 4
  • 输出：1 0 0 0 3 3 0 0 0 1

解析由校招宝本地引擎整理（依据源站考点标签 / 人工判题标注 / 题面规模信号），非官方题解，仅供思路参考。

本题来源：2023年秋招-京东-技术通用岗位-第一批笔试。

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